Chapter 3.2 - Algumas expressões gerais de funcoes

Nesta entrada, vou explicar como chegar às funções que mais nos surgem no quotidiano, na física, e na matemática.

1 - Função reta

Em matemática, uma reta é uma figura geométrica que estabelece o menor percurso possível entre 2 pontos. 

Suponha por exemplo, que lançamos um foguetão a partir da terra, que se encontra nas coordenadas (0,0) e queremos que ele chegue ao planeta Marte, de coordenadas (4,2) gastando o menor combustível possível. Qual função define a trajetória que queremos que o foguetão tome?

R: Como mencionei, a reta é a figura geométrica que se adequa perfeitamente a este exemplo. Ela dá-nos a menor trajetória possível entre 2 pontos. Mas como conseguimos determinar a função que "liga os 2 pontos"? 

É bastante simples, a reta tem uma função genérica dada por:

Y = Mx + B

Se soubermos 2 pontos: A ( Xa , Ya) e B ( Xb , Yb) pertencentes à reta, é-nos possível determinar os valores de M e B, com :

E 

B = Yb

E portanto:

É a nossa equação da reta


Neste exemplo, o planeta terra encontra-se em A (0,0) e o planeta Marte em B (4 , 2), portanto  Ya = 0, Yb =2, Xa = 0, Xb = 4 e indo à nossa expressão genérica obtemos:

Sabendo agora a equação da reta, podemos determinar os pontos C, D e E por exemplo. Sabe-se que:

C: (1, f(1)) = (1, 0.5x1) = (1, 0.5)
D: (2, f(2)) = (2, 0.5x2) = (2,   1 )
E: (3, f(3)) = (3 , 0.5x3) = (3, 1.5)

Se for consultar o gráfico, verá que todos os pontos estão corretos! Detrminámos então matemáticamente o conjunto de todos os pontos que a nave espacial deverá percorrer para que seja gasto o mínimo de combustível possível!

Saber a equação da reta é fundamental na física e na química. Em movimento, por exemplo, o declive da reta em gráficos de velocidade/tempo são a aceleração do objeto, muito presente nas leis de newton. O declive da reta de um gráfico tensão/intensidade de corrente é a Resistência de um aparelho eletrónico. O declive da reta de um gráfico Absorvância /concentração de uma espécie química é o coeficiente de absorção dessa mesma espécie. Entre outros inúmeros exemplos...

2 - Função Parabólica - A parábola / Função afim

A parábola, tal como a reta, é também um exemplo presente na nossa vida sem que nos apercebamos. Matemáticamente falando, a parábola é uma curva plana cujos pontos são equidistantes de um ponto fixo denominado foco, e de uma reta designada diretriz. Coloquialmente falando, a parábola é a curva que uma bola descreve quando é rematada por um jogador de futebol, é a curva das antenas parabólicas, a curva presente nos espelhos da rua para vermos se vem um carro do nosso lado direito, a curva efetuada quando os jogadores de ténis jogam ténis, entre outros inúmeros inúmeros exemplos.

Fig.1 - Parábola no futebol. Prof. Gleidston Gomes, Lista de exercícios:Equação do 2º grau e as suas aplicações. Imagem disponível em http://cedt-matematica.blogspot.pt/2014/10/lista-de-exercicios-equacao-do-2-grau-e.html [consultado a 27 -08-2017 19:51h]

Fig 2. -Antena gigante parabólica. Jessica Riehl ID69824780, Antena parabólica gigante. Imagem disponível em: https://pt.dreamstime.com/foto-de-stock-antena-parab%C3%B3lica-gigante-image69724780 [consultado a 27-08-2017, 19h55]

As parábolas são funções matemáticas da forma:

Sendo a e b as abcissas dos zeros da parábola.

Exemplo 2:

Determine a função que descreve a parábola abaixo:

Fig.3 - Parábola. Imagem disponível em: http://agrega.juntadeandalucia.es/visualizar/es/es-an_2011060713_9110157/true [consultado a 27-08-2017 20h07]

Ao observar a figura, conseguimos ver dois pontos que correspondem aos "zeros" da função. O ponto A: ( -2 ,0 ) e o ponto B( 6 , 0 ).

Substituindo na equação genérica da parábola "a" por -2 e "b" por 6, obtemos a seguinte expressão:

f(x) = k (x - (-2))(x - 6) 

E daqui vem que: 

f(x) = k (x + 2 ) ( x - 6)

Para determinar o valor de k, basta pegar num ponto qualquer pertencente à parábola, e substituir os valores de x e de y pelas respectivas coordenadas. Peguemos por exemplo no ponto mais alto da parábola, V: (2, 16).

Substituindo na expressão:

f(2) = 16 = k ( 2 +2) (2 - 6) vem que:

16 = k (4)(-4) e portanto:

k = 16 / ( -16 ) = -1.

A equação da parbábola é então dada pela expressão: 

f(x) = - (x + 2)( x - 6)

ou, se efetuar a propriedade distributiva: 

f(x) = (- x - 2 )( x -  6 ) = (-xx - (-6x) -2x - (-6x2)) =

E obtemos:

A partir desta equação, podemos obter qualquer ponto que pertenca à parábola. 

Exemplo 3: 

Para o caso da hipérbole não ter zeros, limita-nos a efetuar uma translação de uma parábola semelhante, isto é, obtemos o gráfico da parábola adicionando uma constante. Considere-se por exemplo a seguinte parábola: 

A parábola anterior, não nos permite calcular a função pelo método tradicional da expressão geral. Contudo, se determinarmos o foco da parábola (o ponto mais baixo da mesma) e subtrairmos à expressão geral, obtemos uma equação do tipo:

f(x) = k (x - a)(x - b) + foco

Neste caso interessa-nos "fazer descer" a parábola. Se formos a ver, o foco encontra-se no ponto (0, 3) , e portanto, basta-nos subtrair 3 unidades à expressão geral. Assim:

Expressão geral = f(x) - 3 

E obtemos o seguinte gráfico: 

Neste gráfico já temos os zeros, que correspondem a 0, e 0 (têm de existir 2 soluções para conseguir preencher a equação geral da parábola). Obtemos então a seguinte expressão: 

Passando o -3 para o outro lado da equação, obtemos: 

Resta-nos agora, então, determinar o k, a constante da parábola inicial. O ponto (1, 3) pertence à nossa parábola inicial, pelo que f(1) = 4 (não se esqueça que efetuou uma transformação à parábola inicial, logo os valores a substituir têm de ser da primeira).

f(1) = k (1)(1) +3

4 = k + 3 

4-3 = k

k = 1

A expressão regal para a nossa parábola é então :

E conferindo na calculadora, verificamos que é de facto verdade :) 

Se entendeu estes processos, conseguirá determinar a equação de qualquer tipo de parábola, e estará explicar os fenómenos de movimentos horizontais na física sem problema algum!

3 - Função racional

A função racional, tem a expressão geral:

Onde k(x) e a(x) são duas quaisqueres funções. A lei de gravitação universal, que nos permitiu determinar a gravidade, o movimento de satélites, planetas, entre outros, é uma função racional. A lei de Coulomb, que nos indica a força elétrica de um circuito por unidade de área, é também uma função racional. Muitos componentes elétricos, tais como Díodos, funcionam segundo uma função racional. Existem inúmeros exemplos para este tipo de funções, sendo por isso fundamental percebê-las.
Estas funções tem uma particularidade especial, pois como se sabe, uma vez que resulta de um quociente, a função debaixo nunca poderá ser zero (pois é impossível dividir um número por zero), contudo, é possível estudarmos a função em torno do zero do quociente, que tenderá para infinito!

Exemplo :
Considere-se a seguinte função: 

Se formos substituindo x por valores cada vez mais próximos de zero, significa que o resultado da função será cada vez maior. Isto é um típico exemplo de: "Se tentarmos dividir um bolo por um número cada vez menor de pessoas, ficaremos com fatias cada vez maiores, e, teóricamente, se tentarmos dividir um bolo por um número quase 0 de pessoas, essas ficaram com infinitas porções do bolo (que corresponde ao bolo inteiro!). Veja-se a representação gráfica da função:

Se x tende para 0, f(x) tende para infinito, negativo ou positivo!

Podemos também proceder à translação da função, isto é, fazê-la mover de um lado para o outro. Ao adicionar uma constante, podemos fazer a função subir e descer: 

Por exemplo: 
A função abaixo é dada por: 

Podemos também movê-la para a direita, subtraindo um determinado valor no quociente da função. 

Ou para a esquerda, adicionando um determinado valor no quociente da função:

Note-se que o x é mentiroso! Isto é, se subtrairmos unidades ao quociente, a função move-se para o lado positivo do eixo x, se adicionarmos, a função move-se para o lado negativo! 

4 - Função exponêncial
A função exponencial permite descrever o comportamento da evolução da população do Homem, e é bastante utilizada por exemplo em expressões matemáticas de finanças! Esta é dada pela expressão:

Exemplo:
 Ao fazermos aumentar o valor de a, aumentamos o valor da velocidade que a função progride. Veja-se por exemplo: 

A vermelho tempos a expressão 2^x , a azul 5^x e a preto 20^x.

Tal como nas outras funções, podemos fazer a função subir e descer!