Chapter 3 - Funções e sucessões

Nesta entrada, vou falar um pouco sobre funções, sucessções e introduzir algumas definições.

1. Funções
Desde pequeno que aprendi funções como sendo uma espécie de máquina de sumos de laranja. Colocamos numa extremidade da máquina uma laranja, e na outra extremidade sai o sumo de laranja. As funções são um pouco como isso, transformam um número em outro.

Definição:
Uma função é uma aplicação de R em R, e representa-se por f(x).

O que significa ser uma aplicação de R em R? Significa essencialmente que estamos a pegar num número pertencente ao conjunto R, os números reais (todos os números que conhecemos) e estamos a transformá-lo noutro número, tambem pertencente aos números reais.

Considere-se por exemplo a seguinte função:

f(x) = 3x + 1

onde f(x) é a quantidade de "sumo" que sai em litros, e x o número de laranjas que introduzimos na máquina. 

Se introduzirmos 1 laranja, f(x) = f(1) = 3*1 +1 = 4

Se introduzirmos 2 laranjas, f(x) = f(2) = 3*2 + 1 = 7

Se introduzirmos 3 laranjas, f(3) = 3*3 + 1 = 10

E assim sucessivamente.

Podemos exprimir esta transformação em pares coordenados (definição na entrada anterior), com a seguinte forma:

(x , f(x))

E na forma de par coordenado, podemos exprimir a função visualmente, num referencial cartesiano: 

Se continuassemos a substituir os valores de x na função, obteríamos um conjunto de pontos que iria eventualmente chegar ao infinito! Note-se que neste exemplo não utilizamos 3.333333 laranjas por exemplo, pois isso seria impossível na vida real. Mas caso considerássemos esse exemplo, e tomássemos todos os valores positivos existentes (não existem laranjas negativas), então obteríamos o seguinte gráfico: 

Obtemos assim a função que nos permite determinar a quantidade de sumo extraída ao introduzir x laranjas na máquina. 

Pensemos agora ao contrário. Queremos extraír 19 litros de sumo, e queremos saber quantas laranjas serão necessárias para produzir essa exata quantidade de sumo. O nosso f(x) tomará então o valor de 19, e agora basta-nos resolver a função em ordem a x.

f(x) = 3x + 1

sabemos que f(x) = quantidade de sumo = 19 L, logo:

19 = 3x + 1 <=> 19 - 1 = 3x <=> 18/3 = x <=> x = 6

Resolvendo a equação em ordem a x, obtemos que serão necessárias 6 laranjas para produzir 19L de sumo. Se fôr conferir ao gráfico, quando x=6, existe um ponto entre 20 e 18, que corresponde aos nossos 19 litros!

Geralmente na escola, eles ensinam primeiro o processo da determinação de soluções, que consiste básicamente num conjunto de fórmulas e processos, e só depois um conceito fundamental da física, a derivada. Eu, pessoalmente acho totalmente incorreto, pois o conceito de derivada explica a forma de chegar às soluções das funções e o estudo das suas propriades de forma intuitiva, portanto vou fazer o contrário da escola, ensinar primeiro os conceitos, e deduzir apenas depois as fórumulas que nos tentam "mecanizar" na escola!!