Chapter 2.1 - Operações matemáticas em referênciais Cartesianos. Noção matemática de distância no espaço 2D e 3D

Já vimos ontem que podemos descrever a posição de um ponto que se localize em qualquer local do espaço através de uma simples combinação de números do tipo x em 1D, (x,y) em 2D ou (x,y,z) em 3D, as designadas coordenadas cartesianas. Iremos introduzir agora, então, a noção de distância, um dos conceitos mais importantes da matemática.


REFERENCIAIS EM 1 DIMENSÃO
Comecemos então com o exemplo em 1 Dimensão mais simples que existe; Quando utiliza uma régua,, uma fita métrica, ou qualquer objeto para medir um comprimento, ou distância, está a criar um referencial matemático, mesmo sem o perceber:

Fig1. O referencial matemático mais simples. Imagem disponível em: https://pixabay.com/en/ruler-geometry-mathematics-draw-1023727/

1) Se quiser então medir a distância entre 2 pontos ou um comprimento, o que geralmente faz é colocar a régua sobre um deles, e ver em que local se encontra o segundo. Por exemplo:

Fig2. 2 pontos representados no referencial cartesiano em 1D. Imagem disponível em: https://pixabay.com/en/ruler-geometry-mathematics-draw-1023727/

Neste caso, o leitor diz intuitivamente que a distância entre o ponto A e o ponto B é 14cm.

Se pensar bem, está metalmente a fazer uma operação matemática num referencial:

O ponto xA encontra-se em 0. O ponto xB encontra-se em 14. Então, a distância entre os 2 pontos é dada por:

 xB - xA  =  14 - 0  = 14 cm

2) Pense-se agora num segundo caso, onde queremos a distância entre os 2 seguintes pontos: 

Esta situação poderá talvez provocar um maior desconforto, pois primeiro que tudo envolve números negativos, e em segundo lugar tem como referência um ponto que não está centrado em 0. Contudo, a forma de proceder é exatamente a mesma:

 xA - xB  =  14 - ( - 4)  = 14 + 4 | = 18 cm

3) E se agora invertermos os pontos A com B?

A expressão matemática passaria a ser:

 xA - xB  =  - 4 - 14 = - 18 cm

-18? Um número negativo? Como pode estar um número a um comprimento negativo de outro? 

Na verdade, a distância entre o ponto A e o ponto B é a mesma, a diferença entre as duas situações foi a orientação do referência que escolheu Isto é, num referencial, tal como na vida, existem só 2 sentidos: Em frente, o positivo, ou para trás, o negativo!

Como eu escolhi o sentido positivo do referencial como sendo da esquerda para a direita, se estou a fazer operações matemáticas da direita para a esquerda é obvio que me irão dar números negativos!

Matemáticamente, existe um símbolo especial utilizado em situações em que nos interessa apenas saber comprimentos/Distâncias. Este operador chama-se Módulo. O módulo, por outras palavras, é designado comprimento/intensidade, ou o nome mais comum utilzado pelos ciêntistas, Norma. o módulo representa-se por 2 barras verticais " | | ".

Pegue-se no exemplo do ponto 3). 

xA - xB = - 4 - 14 = - 18

| -18 | = 18 cm

Diz-se então que a norma/Distância entre o ponto A e o ponto B é 18 cm

REFERENCIAIS EM 2 DIMENSÕES

Trabalhamos de forma quase igual com referênciais de 1 Dimensão, 2 e 3. Contudo, existe 1 particularidade nos referenciais em 2/3 dimensões. 

Considere-se o seguinte referencial: 

fig.5 - Referêncial Cartesiano em 2D. Imagem adaptada de: http://fooplot.com

Como démos no capitulo 3, os pontos A e B podem ser representados por um par de números. 

O ponto A pode ser representado por A: ( - 12 ; 2);

O ponto B pode ser representado por B: (  14 ; 8);

Neste caso, temos de medir 2 distâncias: A distância x e a distância y.

As distâncias são dadas por:

x: | -12 + 14| = 2

y: | 2 - 8| = 6

A distância entre os 2 pontos tem 2 vertentes, mais frequentemente designadas componentes: A componente x, e a componente y. Como determinar então a distância?

Representando as respectivas distâncias no eixo do x, e no eixo do y, obtemos um triangulo:

Onde: 

Podemos determinar o valor da distância utilizando o Teorema de Pitágoras. Este consiste basicamente na seguinte ideia: 

" A raíz quadrada do quadrado da soma dos catetos (lados mais pequenos do triângulo) é igual à hipotenusa (lado maior do triângulo) "

Matemáticamente:

E neste caso, a distância entre os pontos A e B será:

Se quiser determinar a distância entre A e C, por exemplo, basta fazer: 

Como vê, a partir desta relação, podemos obter o comprimento de um lado sabendo o comprimento dos outros 2.

Regra geral, o teorema de pitágoras é dado por: 

fig 8 - Fórmula Geral do teorema de pitágoras. Imagem disponível em: http://teoremadepitagoras.info/ 

REFERÊNCIAIS EM 3 DIMENSÕES

Já falei também na descrição da posição de pontos em 3D. Os pontos em 3D são dados por:

A: (x,y,z)

Imagine-se um cubo, cujo comprimento da aresta é 2cm.:

A distância entre os pontos A e B, pode também ser dada pelo teorema de pitágoras, contudo, temos de somar a última componente, z.

|xA-xB| = |2-0| = 2

|yB-yA| = |2-0|=2

|zB - zA| = |2 - 2| = 0

Pegue numa fita métrica e experimente fazer medições em pontos no espaço, verá que os resultados serão semelhantes! :)

Kyle Gonçalves 06-07-2017